Можна стверджувати, що основним чинником фізико-хімічних процесів в ливарному виробництві є відвід тепла від рідкого металу в навколишнє середовище, в якості якого виступає ливарна форма. Теоретичний опис зміни температури в рідкому металі базується на рівнянні теплопровідності і не викликає великих труднощів. Проте теоретичне дослідження зміни температурного поля в системі "форма-розплав-стрижень" викликає певні математичні складнощі за рахунок неоднорідності загальної системи. В даній роботі пропонується узагальнена постановка математичної задачі теплопровідності в неоднорідному середовищі при відсутності додаткових джерел виділення тепла за рахунок кристалізації.

На рисунку 1 приведена узагальнена схема постановки задачі теплопровідності в неоднорідному середовищі, яке складається з трьох ділянок і дає можливість сформулювати граничні умови. Відповідні рівняння теплопровідності із граничними умовами можна записати як:

шар 1:

, ,

, ,

,

шар 2:

, ,

, ,

,

шар 3:

,

, ,

,

Розв'язок даної задачі доцільно виконувати використовуючи числові методи. Враховуючи дану геометрію системи зручним буде застосування неявної схеми методу кінцевих різниць.

Запропоновану схему розрахунків в разі необхідності легко трансформувати як для простішого випадку двох шарів, так і на більш складні випадки, коли кількість шарів збільшується. Використання числового методу розв'язку обумовлює реалізацію цієї схеми у вигляді комп'ютерної моделі.