Розрахунки параметрів теплової взаємодії виливків із ливарними формами (стрижнями) сьогодні знов набули актуальності. В середині та наприкінці ХХ сторіччя основні теплові задачі здавалися вирішеними, оскільки було вичерпано можливості аналітичних методів розрахунків. Із розвитком комп’ютерної техніки та математичного моделювання процесів з’явився ряд програм, які широко використовуються у навчальних, дослідницьких закладах та на діючих заводах. В основу програм покладено існуючі варіанти розв’язання теплових задач без їх уточнення на базі сучасних можливостей. Вони містять багато припущень, які віддаляють результати від істини, а в окремих випадках призводять до формулювання хибних висновків. Тому ми вважаємо своїм обов’язком провести ревізію існуючих методів теплових розрахунків у ливарному виробництві та усунути, наскільки можливо, їх недоліки.

Почнемо з того, що способів точного опису процесів теплової взаємодії ливарної форми з виливком не існує. Проблема полягає в тому, що для будь-якого розрахунку необхідно задати початкову (базову) величину або функцію. Наприклад, якщо точно знати закон зміни температури поверхні форми, можна розрахувати її температуру на будь-якій глибині. Але способів точного визначення температури поверхні немає.

Аналітично можна задати, що Т_пов = Т_Ме, де Т_пов – температура поверхні форми, а Т_Ме – температура поверхні виливка. І це помилково, тому що в початковий момент температура форми в усіх точках дорівнює температурі навколишнього середовища, а з температурою виливка вона поступово зрівнюється за певний невизначений період часу.

Так само, задавши Т_пов = const, робимо ще одну помилку, тому що в реальності ця величина змінна.

Нами було запропоновано визначати тривалість вирівнювання температур поверхонь виливка і форми у початковий період їхнього контакту за допомогою критеріального рівняння Фур’є:

,                                                                    (1)

де υ₀ = Т_Ме – Т_пов (різниця між початковими температурами поверхонь виливка і форми), К;

υ = Т_Ме(τ) – Т_пов(τ) (різниця між температурами поверхні виливка і форми в момент часу τ), К;

х – товщина розрахункового шару форми, мм;

δ – загальна товщина форми, мм;

Fo – критерій Фур’є.

У тонких формах (наприклад, керамічних для лиття за моделями, що витоплюються) цей спосіб дає змогу визначити тривалість нагрівання форми на гранично малій відстані (десяті долі міліметра) від поверхні виливка. Чим товща форма, тим менша точність такого розрахунку. Крім цього, відповіддю розрахунку є час, за який температури зрівнюються, а не сама залежність температури від часу. Тобто функцію Т_пов = f(τ) так і не визначено.

Фізичний експеримент у даному випадку також неможливий: по суті потрібно визначити температуру в формі на відстані 0 мм від виливка. Якщо розташувати там термопару, вона буде визначати температуру розплаву; якщо ж розташувати її на певній глибині – це буде вже не поверхнева температура форми. Тому потрібно продовжувати пошуки аналітичного рішення.

Наприклад, метод Стефана – Шварца дає аналітичні вирішення для значень температури на будь-який момент часу на будь-якій відстані від поверхні (як усередині форми, так і в виливку). Але він має наступні недоліки:

– необхідним для розрахунку є значення коефіцієнта твердіння (k) – дуже приблизної, майже емпіричної величини. Теоретичні і практичні значення цього коефіцієнта іноді відрізняються у 10 разів;

– за основу при визначенні Т_Ме і Т_пов береться певна температура контакту (Т_к), яку визначають один раз і надалі вважають незмінною;

– метод не враховує виділення теплоти під час твердіння виливка, особливо в процесі евтектичного перетворення, і тому за розрахунком зменшення температури відбувається монотонно увесь час;

– за розрахунком між температурами поверхонь виливка і форми завжди існуватиме різниця, а насправді під час щільного контакту вони мають зрівнятись;

– розрахунок можна вести тільки до моменту завершення твердіння виливка. Оскільки зниження температури Т_Ме нижче солідусу в цьому методі не передбачено, форма буде вічно нагріватись, якщо продовжити розрахунок у період охолодження затверділого виливка.

Метод кінцевих різниць може досить точно показати розподіл температур у будь-якому матеріалі, але за умови точно відомого закону зміни температури на поверхні.

Вирішуючи теплові задачі у системі «виливок – форма», більшість дослідників вважають температуру у виливку рівною в усіх його точках. У піщаних формах це близько до істини. Але у тонкостінних (оболонкових або керамічних) чи металевих формах у виливку є перепад температур.

Розглядаючи систему «виливок – форма» з математичного боку, слід взяти за основу один із цих об’єктів. Тоді другий буде залежним від нього. Ми вважаємо у цій системі первинним процесом охолодження виливка і тепловіддачу від нього. В такому разі необхідно знайти закон охолодження виливка в цілому, після цього перейти до його поверхні, а за нею встановити зміну температури поверхні форми. Для реалізації даного загального алгоритму нами складено ряд окремих аналітичних задач:

1. Задача про твердіння і охолодження виливка. Це єдина задача, рішення якої вже існує. Знаючи матеріал виливка та форми, можна розрахувати за відомими формулами Баландіна Г.Ф. тривалість твердіння і охолодження виливка до певної заданої температури. Також існує можливість визначити тривалість відведення теплоти перегрівання (час, який проходить з моменту заливання металу в форму до початку його кристалізації).

2. Задача про зміну температури поверхні виливка. Найпростіший шлях – прийняти температуру у всіх точках виливка однаковою. В такому разі в момент завершення твердіння, наприклад, вона буде дорівнювати температурі солідусу. Але насправді на поверхні виливка температура буде нижчою, ніж у його термічному центрі, і цей перепад по можливості має бути визначено.

3. Задача про зміну температури поверхні форми. Для встановлення аналітичного рівняння Т_пов = f(τ) потрібно як мінімум знати значення цієї температури в декілька моментів часу. Для цього можна скористатися методом Стефана – Шварца, задавши у розрахунку точку на мінімальній відстані (наприклад 0,1 мм) від поверхні.

4. Задача про вирівнювання температур поверхонь виливка і форми. Для вирішення можна скористатися критеріальним рівнянням Фур’є (1). Крім цього, можна узяти за основу результати попередніх двох задач. Якщо будуть відомі функції зміни температури поверхонь виливка і форми, то прирівнявши їх, знайдемо час, а також значення температури на цей момент. Після цього виливок продовжує охолодження, а поверхня форми перестає нагріватись і починає охолоджуватись разом із виливком.

5. Розрахунок теплових полів у формі. Їх визначення проведемо за методом кінцевих різниць. Знаючи закон зміни температури поверхні форми, це стане можливим.

Отже, теплові розрахунки у системі «виливок – форма» в процесі затвердіння і охолодження металу є складними і багатогранними. Але розділення загальної задачі на декілька більш простих дає змогу знайти ряд аналітичних вирішень, які значною мірою уточнюють існуючу інформацію.